悖论与莫比乌斯带

   下面谈谈什么是悖论，以及为什么说产生悖论的根本原因，是逻辑的二元性，而这种二元性的逻辑事实上原本就充斥着人类自古至今所有的语言，包括人类的数学语言。

先谈什么是悖论。

  所谓悖论，即是在真与假、是与非等等对立概念之间的循环论证：如果它真，则它假；如果它假，则它真。如果它是，则它非；如果它非，则它是。等等。

  最简单的一个悖论的例子即如下的语句：

 “我说谎。”

  如果我真说了谎，那么当我说“我说谎。”时，恰恰我没有说慌。

  如果我没有说慌，而我却说“我说慌。”时，恰恰我真说了慌。

  简言之，即：如果说了谎，则没说谎；

  如果没说谎，则说了慌。

  又，罗素的一个有名的悖论叫“理发师悖论”：

  一个理发师说：“我只为不为自己理发的人理发。”

 人们会问，该理发师要不要为自己理发呢？

  结果是：如果他不为自己理发，按照上面的说法，他恰恰要为自己理发；

  如果他为自己理发，按照上面的说法，他恰恰不要为自己理发。

 上述对立概念之间的循环论证，不仅发生在一般的语言之中，也发生在数学语言之中。数学是精确的科学，岂容如此的悖论存在，尤其还出现在数理逻辑学以及集合论的公理化系统的语言之中？

  关于悖论产生的原因，数学家们纷纷猜测，各具不同的观点。例如，罗素认为，是由于表述中发生了“恶性循环”；庞加莱认为，是由于概念的定义中出现了“非直断性语句”；魏尔则认为，根本的问题还是出在“无穷”的概念，等等。我认为，他们的观点虽然都有道理，但全都忽视了一个最根本的问题，即：人类所有的语言，包括人类的数学语言，原本全都基于二元性的逻辑原理。换言之，一切悖论发生的根源，都在于所有人类语言表述中的逻辑的二元性。说得更明白一点，即：一切悖论的发生，以及后来著名德国数理逻辑学家哥德尔关于一切数学系统的不完全性定理的证明，均在于对二元论逻辑学中排中律的否定。

正是因此，使我想起，可以用莫比乌斯带的实物模型来表征二元论的逻辑体系。

   什么是莫比乌斯带？

   我们任意取一条纸带，正面涂上白色，反面涂上黑色。

当我们如下图转折偶数次再对接时，仍然是白色接白色，黑色接黑色。这相当于我们的操作（运算、推理等）符合相容性，也即不矛盾性原理。

   当我们如下图转折奇数次再对接时，则变成了白色接黑色，或黑色接白色。这时则相当于我们发生了“悖论”，即：既黑又白，或既非白又非黑。如此转折对接的带子，我们即称之为莫比乌斯带。

我们还可以用莫比乌斯带来形象地说明前面的两个悖论：

  1,我

  2,说谎

  3（理解）：这是真话（白，没说谎）呢，还是假话（黑，说了谎）呢？

  结果是：如果白，则黑；如果黑，则白。

 1,理发师：我

 2,只为不为自己理发的

 3,人

 4,理发

 5（理解）：理发师要不要为自己理发呢？

 结果是：如果白（要），则黑（不要）；如果黑（不要），则白（要）。

 

 

  如上所述，悖论的发生虽然与循环有关，但更本质的原因，还在莫比乌斯带上只有黑白二种颜色，即二元论的逻辑表述。如果存在第三种颜色（或状态）的话，例如“我说谎”仅仅限于我过去说的谎，并不包括我刚刚说的这一句话，而关于这句话，我用第三种颜色来表示。又例如我不要为自己理发，即使要理发也请别人代劳，这同样可以用第三种颜色来表达。罗素用层次论来解决他的悖论问题，其实也已超出了二元论逻辑（排中律）本身。

  上述的莫比乌斯带当转折超过三次以上的奇数次时，将不得不用第三种颜色进行判别。关于这一点的结论，我将用在破解四色猜想问题的过程之中，请网友们记住。

顺便说说，由此我设想，可以用其中三个面分别着上红、黄、蓝三种颜色的三棱带来作为三元逻辑的实物模型。这只是后话。（2006,11,1）